Абстрактная выпуклость функций относительно множества липшицевых (вогнутых) функций

Настоящая работа посвящена абстрактной ${\mathcal H}$-выпуклости функций (${\mathcal H}$ — заданное множество элементарных функций) и ее реализации в случае, когда в качестве ${\mathcal H}$ рассматриваются пространство липшицевых функций и множество вогнутых липшицевых функций. В работе вводится новое понятие регулярно ${\mathcal H}$-выпуклых функций. Так названы функции, которые являются верхними огибающими множества максимальных (в смысле поточечного упорядочения) ${\mathcal H}$-минорант. Как обобщение понятия глобального субдифференциала выпуклой функции вводятся множество максимальных опорных ${\mathcal H}$-минорант к функции в заданной точке и множество нижних ${\mathcal H}$-опорных точек функции, в терминах которых затем устанавливаются достаточные, а также необходимые условия глобального минимума функции. Во второй части работы абстрактные понятия ${\mathcal H}$-выпуклости реализуются в конкретных случаях, когда функции определены на метрическом или нормированном пространстве $X$, а в качестве множества элементарных функций ${\mathcal{H}}$ рассматривается множество ${\mathcal{L}(X,{\mathbb R})}$ липшицевых или множество ${\mathcal{L}\widehat{C}(X,{\mathbb R})}$ вогнутых липшицевых функций. Важным результатом данной части статьи является доказательство того, что для полунепрерывной снизу функции, которая, кроме того, ограничена снизу липшицевой функцией, множество нижних ${\mathcal{L}}$-опорных точек и множество нижних ${\mathcal{L}\widehat{C}}$-опорных точек совпадают и являются плотными в ее эффективной области. Данные результаты распространяют на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда — Рокафеллара о существовании субдифференциала для выпуклых полунепрерывных снизу функций и восходят к одному из важнейших результатов классического выпуклого анализа — теореме Бишопа — Фелпса о плотности опорных точек в границе замкнутого выпуклого множества.