Численный метод решения краевых задач для однородного уравнения с квадратом оператора Лапласа при помощи интерполяционных всплесков

В работе представлен численный метод восстановления бигармонических функций в круге по непрерывным граничным значениям самих функций и их нормальных производных с помощью гармонических в круге всплесков, интерполяционных на границе круга, по двоично-рациональным сеткам. При этом разложения решений краевых задач в громоздкие интерполяционные ряды по базису всплесков свернуты в последовательности их частичных сумм, компактно представимых по базисам подпространств соответствующего кратномасштабного анализа (КМА) пространств Харди $h_{\infty}(K)$ гармонических в круге функций. Получены эффективные оценки аппроксимации решений частичными суммами любого порядка через наилучшие приближения граничных функций тригонометрическими полиномами чуть меньшего порядка. Это позволяет для практического обеспечения требуемой точности представления искомых бигармонических функций заранее выбрать масштабирующий параметр соответствующего подпространства КМА. Интерполяционная проекция на это подпространство кроме точности определяет простое аналитическое представление соотвествующих частичных сумм через подходящие сжатия и сдвиги масштабирующей функции, минуя сложные итерационные процедуры численного построения коэффициентов разложения граничных функций в ряды по интерполяционным всплескам. В работе выписаны решения с помощью интерполяционных и интерполяционно-ортогональных всплесков, построенных на базе всплесков Мейера. Вторые из них выгоднее использовать в случае, если граничные значения краевой задачи известны приближенно, например, получены экспериментально. Тогда можно будет использовать обычные хорошо известные процедуры дискретных ортогональных всплеск-преобразований для анализа и уточнения (корректировки) граничных значений. Для численной реализации предлагаемый метод значительно проще решения краевых задач с помощью ортогональных всплесков.