К вопросу о совпадении гильбертовых пространств с воспроизводящими ядрами, связанных специальным преобразованием

Рассматриваются два гильбертовых пространства $H_1$ и $H_2$ с воспроизводящими ядрами, состоящие из комплекснозначных функций, заданных на некоторых множествах точек $\Omega_1\subset {\mathbb C}^n,\,\Omega_2\subset {\mathbb C}^m$ соответственно. Нормы в пространствах $H_1$ и $H_2$ имеют интегральный вид
\begin{align*} \|f\|_{H_1}^2=\int_{\Omega_1}|f(t)|^2\,d\mu_1(t), \ \ f\in H_1,\quad \|q\|_{H_2}^2=\int_{\Omega_2}|q(z)|^2\,d\mu_2(z), \ \ q\in H_2. \end{align*}
Пусть $\{E(\cdot,z)\}_{z\in \Omega_2}$ — некоторая полная система функций в пространстве $H_1$. Обозначим
\begin{align*} \widetilde f(z)\stackrel{{\rm def}}{=}(E(\cdot, z), f)_{H_1}\ \forall z\in \Omega_2,\ \ \widetilde H_1=\{\widetilde f,\, f\in H_1\}, (\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H_1}\stackrel{{\rm def}}{=}(f_2,f_1)_{H_1}, \|\widetilde f_1\|_{\widetilde H_1}=\|f_1\|_{H_1}\ \ \forall \widetilde f_1,\widetilde f_2\in \widetilde H_1. \end{align*}
В работе изучается вопрос, когда гильбертовы пространства $\widetilde H_1$ и $H_2$ совпадают, т. е. состоят из одних и тех же функций, и нормы этих пространств равны. В работе получен критерий. Доказано, например, для того чтобы $\widetilde H_1$ совпадало с $H_2$, необходимо и достаточно существование линейного непрерывного взаимно-однозначного унитарного оператора ${\mathcal A}$, действующего из пространства $\overline H_1$ на пространство $H_2$, который для любого $\xi\in \Omega_1$ переводит функцию $K_{\overline H_1}(\cdot,\xi)$ в функцию $E(\xi,\cdot)$. Здесь $\overline H_1$ — пространство, состоящее из функций комплексно-сопряженных к функциям из $H_1$, $K_{\overline H_1}(t,\xi),\, t,\xi\in \Omega_1,$ — воспроизводящее ядро пространства $\overline H_1$. Получены и другие, эквивалентные, утверждения. Также получено необходимое и достаточное условие, при выполнении которого пространства $H_1$ и $H_2$ совпадают.