Самопересечения в параметризованных самоподобных множествах при сдвигах и растяжениях копий

В работе рассматривается проблема пересечения $F_i(K_t)\cap F_j^t (K_t)$ пар различных копий самоподобного множества $K_t$, порожденного системой $\mathcal F_t=\{F_1,\dots,F_m\}$ сжимающих подобий в $\mathbb R^n$, в которой одно отображение $F_j^t$ зависит от вещественного или векторного параметра $t$. Рассмотрены два случая: параметр $t\in \mathbb R^n$ задает сдвиг отображения $F_j^t(x) = G(x)+t$ и параметр $t\in (a,b)$ задает коэффициент подобия отображения $F_j^t(x)=tG(x)+h$, где $0<a<b<1$, а $G$ — изометрия в $\mathbb R^n$. Мы накладываем некоторые ограничения на коэффициенты подобия отображений системы $\mathcal F_t$ и требуем, чтобы размерность подобия системы была не больше некоторого $s$. Для таких систем доказано, что хаусдорфова размерность множества тех параметров $t$, при которых пересечение $F_i(K_t)\cap F_j^t(K_t)$ непусто, не превосходит $2s$. Полученные результаты применены к проблеме проверки строгого условия отделимости (SSC) для системы $\mathcal F_\tau=\{F_1^\tau,\dots, F_m^\tau\}$ сжимающих подобий, зависящей от набора параметров $\tau=(t_1,\dots,t_m)$. Рассмотрены два случая: $\tau$ — набор сдвигов отображений $F_i^\tau(x)=G_i(x)+t_i$, $t_i\in \mathbb R^n$, и $\tau$ — набор коэффициентов подобия отображений $F_i^\tau(x)=t_i G_i(x)+h_i$, $t_i\in(a,b)$, где $0<a<b<1$, а все $G_i$ — изометрии в $\mathbb R^n$. В обоих случаях мы находим достаточные условия, при которых система $\mathcal F_\tau$ удовлетворяет SSC для почти всех значений параметров $\tau$. Кроме того, рассмотрена более простая проблема пересечения $A\cap f_t(B)$ для пары компактных подмножеств $A$, $B$ пространства $\mathbb R^n$. Рассмотрены два случая: $f_t(B)=B+t$ для $t\in \mathbb R^n$, и $f_t(B)=tB$ для $t\in \mathbb R$, где замыкание $B$ не содержит $0$. В обоих случаях доказано, что хаусдорфова размерность множества тех параметров $t$, при которых пересечение $A\cap f_t(B)$ непусто, не превосходит $\dim_H (A\times B)$. Как следствие, при достаточно малой размерности произведения $A\times B$ в обоих случаях гарантировано пустое пересечение $A\cap f_t(B)$ для почти всех значений параметра $t$.