Многомерная версия неравенства типа Турана и его приложение к оценке равномерных модулей гладкости периодических функций

В статье приведены доказательства следующих утверждений.
$\bf{Теорема~1.}$ Пусть $m \ge 1,\ f\in L_1(\mathbb{T}^m),\ l,k\in \mathbb N,\ l> m,\ \rho=l-(k+m)$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{m-1}\omega_{l}(f;d/n)_{1,m}<\infty$; тогда $f$ эквивалентна некоторой функции $\psi \in C(\mathbb{T}^m)$ и справедлива оценка
$(a)$ $\displaystyle \omega_{k}\Big(\psi;\frac{d}{n}\Big)_{\infty,m} \le C_{1}(k,l,m)\bigg\{\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{m-1}\omega_{l}\Big(f;\frac{d}{\nu}\Big)_{1,m}+\chi (\rho)n^{-k}\sum\limits_{\nu=1}^{n}\nu^{k+m-1}\omega_{l}\Big(f;\frac{d}{\nu}\Big)_{1,m}\bigg\},\quad  n\in \mathbb N,$
где $\omega_{l}(f;\delta)_{1,m}$ и $\omega_{k}(\psi;\delta)_{\infty,m}$ - соответственно полные модули гладкости $l$-го порядка функции $f$ и $k$-го порядка функции $\psi,\ \mathbb{T}^m=(-\pi,\pi]^{m},\ d=\pi m^{1/2},\ \chi(t)=0$ при $t\le 0$ и $\chi(t)=1$ при $t>0$.
В случае $l=k+m\ (\Rightarrow \chi(\rho)=0)$ при доказательстве оценки $(a)$ существенная роль принадлежит неравенству
$(b)$ $\displaystyle n^{-k}\max\limits_{|\alpha|=k}\Big\|\frac{\partial^{|\alpha|}T_{n,\ldots,n;1}(f;x)}  {\partial x^{\alpha}}\Big\|_{\infty,m} \le C_{2}(k,m)n^{m}\omega_{k+m}\Big(f;\frac{d}{n+1}\Big)_{1,m},\quad n\in \mathbb N$,
где $T_{n,\ldots n;1}(f;x_{1},\ldots,x_{m})$ - полином наилучшего в метрике $L_{1}(\mathbb{T}^m)$ приближения функции $f$ порядка $n\in \mathbb N$ по переменной $x_{i}\ (i=\overline{1,m})$, $\alpha=(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}),\ \alpha_{j} \in \mathbb Z_{+}\ (j=\overline{1,m}),$ - мультииндекс длины $|\alpha|=k$.
Неравенство $(b)$ доказывается привлечением многомерной версии неравенства типа Турана: для любого тригонометрического полинома $t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{m})$ порядка $n_{i} \in \mathbb N$ по переменной $x_{i}\ (i=\overline{1,m})$ справедливо неравенство
$(c)$ $\displaystyle \Big\|\frac{\partial^{k}t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x)}{\partial x^{\alpha}}\Big\|_{\infty,m} \le \Big(\frac{\pi}{2}\Big)^m \Big\|\frac{\partial^{k+m}t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{m})}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}+1}\ldots\partial x_{m}^{\alpha_{m}+1}}\Big\|_{1,m}$,
которое непосредственно следует из аналогичного неравенства (полагаем $k=0$ в неравенстве $(c)$), но имеющего место при выполнении условий $\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}t_{n_{1},\ldots,n_{i},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{i}-y_{i},\ldots,x_{m})\, dy_{i}=0,$ $i=\overline{1,m}.$
Оценка $(a)$ является точной в смысле порядка на классе $H_{1,m}^l[\omega]=\{f\in L_1(\mathbb{T}^m):\ \omega_{l}(f;\delta)_{1,m} \le \omega (\delta)$, $\delta \in (0,d]\}$, где $\omega \in \Omega_l(0,d]$ - класс функций $\omega=\omega(\delta)$, определенных на $(0,d]$ и удовлетворяющих условиям: $0<\omega (\delta)\downarrow 0\ (\delta \downarrow 0)$ и $\delta^{-l} \omega (\delta)\downarrow (\delta \uparrow)$.
$\bf{Теорема~2.}$ Пусть $m\ge 1,\ l,k\in \mathbb N,\ l> m,\ \rho=l-(k+m),\ \omega \in \Omega_{l}(0,d]$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{m-1}\omega(d/n)<\infty;$ тогда
$$ \sup\Big\{ \omega_{k} \Big(\psi;\frac{d}{n}\Big)_{\infty,m}:\ f\in H_{1,m}^{l} [\omega]\Big\} \asymp \sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{m-1}\omega\Big(\frac{d}{\nu}\Big) +\chi(\rho) n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+m-1}\omega\Big(\frac{d}{\nu}\Big),\quad n\in \mathbb N, $$
где $\psi$ обозначает соответствующую функцию из класса $C(\mathbb{T}^m)$, эквивалентную $f\in H_{1,m}^{l}[\omega]$.