Колмогоровские поперечники классов Соболева на отрезке с ограничениями на вариацию

В работе исследуется задача о колмогоровских поперечниках в пространстве $L_q[0, \, 1]$ классов Липшица на отрезке с фиксированными значениями в нескольких точках: $\tilde M = \{f\in AC[0, \, 1], \; \|\dot{f}\|_\infty \le 1, \; f(j/s)=y_j, \; 0\le j\le s\}$. Из известных результатов о поперечниках классов Соболева легко получить порядковые оценки с точностью до констант, зависящих от $q$ и $y_1, \, \dots, \, y_n$. Здесь получены порядковые оценки с точностью до констант, зависящих только от $q$. Задача сводится к оценке поперечников пересечения двух конечномерных множеств: куба и произведения октаэдров с некоторыми весами. Если заменить куб на шар пространства $l_p^n$, то получается дискретизация задачи о поперечнике пересечения класса Соболева и класса функций с ограничениями на вариацию: $M = \{ f\in AC[0, \, 1]\colon \|\dot{f}\|_{L_p[0, \, 1]}\le 1, \|\dot{f}\|_{L_1\left[ (j-1)/s,\ \ j/s\right]} \le \varepsilon_j/s,\ \ 1\le j \le s\}$. Для достаточно больших $n$ получены порядковые оценки поперечников этих классов с точностью до констант, зависящих только от $p$ и $q$. Оказывается, что если $p>q$ или $p>2$, то эти оценки имеют вид $\varphi(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s)n^{-1}$, где $\varphi(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s) \to 0$ при $(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s) \to 0$ (явные формулы для $\varphi$ приведены в тексте статьи). Если $p\le 2$ и $p\le q$, то оценки имеют вид $n^{-1}$ (то есть ограничения на вариацию оценку поперечников при больших $n$ не улучшают). Для доказательства оценок сверху используется результат Э. М. Галеева о пересечении конечномерных шаров. Для доказательства оценок снизу обобщается результат Е.Д. Глускина о поперечнике пересечения куба и октаэдра.