Об аппроксимации преобразования Гильберта

Статья посвящена аппроксимации преобразования Гильберта $(Hu)(t)=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{R}\frac{u(\tau)}{t-\tau}\,d\tau$ функций $u\in L_{2}(R)$ операторами вида $(H_{\delta}u)(t)=\displaystyle\frac{1}{\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\displaystyle \frac{u(t+(k+1/2)\delta)}{-k-1/2}$, $\delta >0$. Основными результатами работы являются следующие утверждения.
$\bf {Теорема~1.}$  Для любого $\delta >0$ операторы $H_{\delta}$ ограниченно действуют в пространстве $L_{p}(R)$, $1<p<\infty$, и имеет место неравенство
$$ \|H_{\delta}\|_{L_{p}(R)\to L_{p}(R)} \le \|\widetilde{h}\|_{l_{p} \to l_{p}}, $$
где $\widetilde{h}$ - модифицированное дискретное преобразование Гильберта, определяемое равенством
$$ \widetilde{h}(b)=\big\{(\widetilde{h}(b))_{n}\big\}_{n\in \mathbb Z},\quad  \big(\widetilde{h}(b)\big)_{n}=\sum_{m\in \mathbb Z}\frac{b_{m}}{n-m-1/2},\quad n\in \mathbb Z,\quad b=\{b_{n}\}_{n\in \mathbb Z} \in l_{1}. $$

$\bf {Теорема~2.}$  Для любого $\delta >0$ и для любого $u\in L_{p}(R),\  1<p<\infty$, имеет место равенство
$$ H_{\delta}(H_{\delta}u)(t)=-u(t). $$

$\bf {Теорема~3.}$  Для любого $\delta >0$ последовательность операторов $\{H_{\delta/n}\}_{n\in \mathbb N}$ сильно сходится к оператору $H$ в пространстве $L_{2}(R)$, т. е. для любого $u\in L_{2}(R)$ имеет место равенство
$$ \lim\limits_{n\to \infty}\|H_{\delta/n} u-Hu\|_{L_{2}(R)}=0. $$