Об одном классе задач оптимального импульсного управления уравнением неразрывности

Исследуется задача импульсного управления специальным классом распределенных динамических систем. Такие системы представляют собой результат релаксации (расширения множества управляемых процессов) уравнения неразрывности с аффинным по управлению векторным полем, когда управляющие воздействия ограничены лишь интегрально. Задачи рассматриваемого типа возникают в области теории управления ансамблями траекторий, мультиагентными системами и системами с нечеткими начальными данными. Состояния системы до релаксации могут быть сколь угодно близки к разрывным кривым в пространстве вероятностных мер, поэтому соответствующая экстремальная задача не имеет решения. Релаксация приводит к корректной задаче оптимального управления, поставленной на обобщенных решениях уравнения неразрывности - мерозначных кривых ограниченной вариации. Дано описание обобщенных решений с помощью разрывной замены времени в траекториях характеристической системы нашего уравнения. Исследованы некоторые теоретико-функциональные свойства таких решений. Получено их представление с помощью дифференциальных уравнений с мерами. Основной результат статьи - необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума для расширенной задачи. В заключение обсуждаются перспективы разработки вычислительных методов на основе полученных результатов.