О перестановочности силовской подгруппы с подгруппами Шмидта из некоторого ее добавления

Группой Шмидта называют конечную ненильпотентную группу, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Добавлением к подгруппе $A$ в группе $G$ называется подгруппа $B$ такая, что $G=AB$. Конечные группы, в которых силовская подгруппа перестановочна с некоторыми подгруппами Шмидта, исследовались в работах Я.Г. Берковича и Э.М. Пальчика (Сиб. мат. журнал. 1967. T. 8, № 4. C. 741-753), В.Н. Княгиной и В.С. Монахова (Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3, С. 130-139). В этой ситуации группа может быть неразрешимой. Например, в группах $Sz(8)$, $PSU(5,4)$, $PSU(4,2)$, $PSp(4,4)$ вообще нет подгрупп Шмидта нечетного порядка, поэтому в этих группах любая силовская подгруппа перестановочна с любой подгруппой Шмидта нечетного порядка. В данной работе устанавливается $r$-разрешимость конечной группы $G$ при условии, что нечетное $r$ не является числом Ферма и силовская $r$-подгруппа $R$ перестановочна с $2$-нильпотентными (или $2$-замкнутыми) подгруппами Шмидта четного порядка из некоторого добавления к $R$ в $G$. Приведены примеры, показывающие, что ограничения на $r$ не являются лишними.