Стабилизаторы вершин графов с примитивными группами автоморфизмов и усиленная версия гипотезы Симса. IV

Четвертая из цикла статей, результаты которого влекут справедливость усиленной версии гипотезы Симса о конечных примитивных группах подстановок. Данная статья посвящена рассмотрению случая примитивных групп подстановок с простым цоколем ортогонального лиева типа и непараболическим стабилизатором точки. Пусть $G$ - конечная группа и $M_1$, $M_2$ - различные сопряженные максимальные подгруппы группы $G$. Для каждого $i\in \mathbb ~N$ индуктивно определим подгруппы $(M_1,M_2) ^{i}$ и $(M_2,M_1)^{i}$ из $M_1\cap M_2$, называемые нами $i$-ми взаимными ядрами подгруппы $M_1$ относительно $M_2$ и подгруппы $M_2$ относительно $M_1$ соответственно. Положим $(M_1,M_2)^{1} = (M_1\cap M_2)_{M_1}$ и $(M_2,M_1)^{1} = (M_1\cap M_2)_{M_2}.$ Для $i\in \mathbb ~N$, предполагая, что $(M_1,M_2)^{i}$ и $(M_2,M_1)^{i}$ уже определены, положим $(M_1,M_2)^{i+1} = ((M_1,M_2)^{i}\cap (M_2,M_1)^{i})_{M_1}$ и $(M_2,M_1)^{i+1} = ((M_1,M_2)^{i}\cap (M_2,M_1)^{i})_{M_2}.$ Нас интересует случай, когда $(M_1)_G = (M_2)_G = 1$ и $1 < |(M_1,M_2)^{2}| \leq |(M_2,M_1)^{2}|$. Множество всех таких троек $(G, M_1, M_2)$ обозначается через $\Pi$. Мы рассматриваем тройки из $\Pi$ с точностью до следующей эквивалентности: тройки $(G,M_1,M_2)$ и $(G',M'_1,M'_2)$ из $\Pi$ эквивалентны, если существует изоморфизм $G$ на $G'$, отображающий $M_1$ на $M'_1$ и $M_2$ на $M'_2$. В данной статье доказана следующая теорема. Теорема. Пусть $(G, M_1, M_2)\in\Pi$, $L=\mathrm {Soc}(G)$ - простая ортогональная группа степени $\geq 7$ и $M_1\cap L$ - непараболическая подгруппа в $L$. Тогда $\mathrm {Soc}(G)\cong P\Omega^+_8(r)$, где $r$ - некоторое нечетное простое число, $(M_1, M_2)^3=(M_2,M_1)^3=1$ и выполняется одно из следующих утверждений$:$ $\mathrm (a)$ $r\equiv\pm1 (mod 8)$, группа $G$ изоморфна $P\Omega^+_8(r):{\mathbb Z}_3$ или $P\Omega^+_8(r):S_3$, $(M_1, M_2)^2=Z(O_2(M_1))$ и $(M_2, M_1)^2=Z(O_2(M_2))$ - элементарные абелевы группы порядка $2^3$, $(M_1, M_2)^1=O_2(M_1)$ и $(M_2, M_1)^1=O_2(M_2)$ - специальные группы порядка $2^9$, группа $M_1/O_2(M_1)$ изоморфна $L_3(2)\times {\mathbb Z}_3$ или $L_3(2)\times S_3$ соответственно и $M_1\cap M_2$ - силовская $2$-подгруппа в $M_1$; $\mathrm (b)$  $r\leq 5$, группа $G/L$ либо содержит $Outdiag(L)$, либо изоморфна ${\mathbb Z}_4$, $(M_1, M_2)^2=Z(O_2(M_1\cap L))$ и $(M_2, M_1)^2=Z(O_2(M_2\cap L))$ - элементарные абелевы группы порядка $2^2$, $(M_1, M_2)^1=(O_2(M_1\cap L))'$ и $(M_2, M_1)^1=(O_2(M_2\cap L))'$ - элементарные абелевы группы порядка $2^5$, $O_2(M_1\cap L)/(O_2(M_1\cap L))'$ - элементарная абелева группа порядка $2^6$, группа $(M_1\cap L)/O_2(M_1\cap L)$ изоморфна $S_3$, $|M_1:M_1\cap M_2|=24$, $|M_1\cap M_2\cap L|=2^{11}$, элемент порядка $3$ из $M_1\cap M_2$ (если он существует) индуцирует на группе $L$ ее графовый автоморфизм. В каждом из случаев $\mathrm (a)$ и $\mathrm (b)$ тройки $(G, M_1, M_2)$ существуют и образуют один класс эквивалентности.