Многочлены, наименее уклоняющихся от нуля на квадрате комплексной плоскости

Исследуется задача Чебышева на квадрате $\Pi=\left\{z=x+iy\in\mathbb{C}\colon \max\{|x|, |y|\}\le 1\right\}$ комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Пусть $\mathfrak{P}_n$ есть множество алгебраических многочленов заданной степени $n$ с единичным старшим коэффициентом. Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение $\tau_n(\Pi)$ равномерной нормы $\|p_n\|_{C(\Pi)}$ на квадрате $\Pi$ многочленов $p_n\in \mathfrak{P}_n$ и многочлен с наименьшей нормой, называемый многочленом Чебышева (для квадрата). Найдена постоянная Чебышева $\tau(Q)=\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\tau_n(Q)}$ для квадрата. Тем самым найдена логарифмическая асимптотика наименьшего уклонения $\tau_n(\Pi)$ по степени многочлена. Дано точное решение задачи для многочленов от первой до седьмой степени. Сужен класс многочленов в задаче, а именно, доказано, что если $n=4m+s,\ 0\le s\le 3,$ то задачу достаточно решать на множестве многочленов $z^sq_m(z),\ q_m\in \mathfrak{P}_m.$ Получены эффективные двусторонние оценки величины наименьшего уклонения $\tau_n(\Pi)$ по $n$.