Оценка остаточного члена эллиптического синуса

Основным результатом работы является весовая оценка остаточного члена $U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}$ разложения эллиптического синуса $z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ по степеням $k^2-1$ в промежутке $[0,1)$. Доказывается, что
\begin{equation*} \vert {(\cosh v})^2 U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}\vert\leqslant {\rm ~ const}\frac{(1-k^2)^{n+1}}{(1-z)^{n+1}}\,\, (z\in [0,1),\,k\in [0,1)), \end{equation*}
где $ {\rm const}$ не зависит от $z$ и $k$. Одновременно предлагается алгоритм нахождения членов асимптотического разложения эллиптического синуса. Формально коэффициенты разложения функции $z={\mathrm sn}(v;k^2)$ в ряд по степеням $k^2-1$ могут быть получены по следующей схеме. Рассматривается эллиптический интеграл Лежандра I рода в форме Якоби $v=u(z,k^2)\,\, ~(z\in [0,1),\,k\in [0,1))$ и вводится вспомогательная функция $v^{(0)}=u(z,1)$. На первом шаге функция $z=\tanh v^{(0)}$ разлагается в ряд по степеням $v-v^{(0)}$. Затем разность $v-v^{(0)}= u(z,k^2)-u(z,1)$ представляется рядом Тейлора по степеням $k^2-1$ и подставляется в разложение функции $z=\tanh v^{(0)}$. В коэффициентах разложения при степенях $k^2-1$ переменная $z$ заменяется на $\tanh v^{(0)}$, которая разлагается по степеням $v-v^{(0)}$. Далее, шаги повторяются. Эта процедура позволяет находить все коэффициенты асимптотического разложения эллиптического синуса $z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ при $k\to 1$, но связана она с большими вычислительными трудностями. Предложенный же в работе алгоритм основан на выделении слагаемых в разложении, вносящих вклад в остаточный член, и оценки таких слагаемых.