О равносильности некоторых неравенств теории приближений периодических функций в пространствах $L_p(\mathbb T), 1 < p < \infty$

В статье предлагается метод, который позволяет, в частности, установить равносильность известных оценок М.Ф. Тимана для $L_{p}$-модулей гладкости $r$-го порядка $\omega_{r}(f;{\pi/n})_{p}$ и оценок О.В. Бесова для $L_p$-норм производных $r$-го порядка $\|f^{(r)}\|_{p}$ посредством элементов последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ наилучших приближений $2\pi$-периодической функции $f\in L_{p}(\mathbb T)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n-1,\ n\in \mathbb N$, где $r\in \mathbb N,\ 1 < p < \infty,\ \mathbb T=(-\pi,\pi]$. Теорема 1. Пусть $1 < p <\infty,\ \theta=\min\{2,p\}$, $r\in \mathbb N$, $f\in L_{p}(\mathbb T)$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\theta r-1} E_{n-1}^{\theta}(f)_{p} < \infty$. Тогда выполнение неравенства $\omega_{r}(f;\pi/n)_{p} \le C_{1}(r,p)n^{-r} \Big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\theta r-1}E_{\nu-1}^{\theta}(f)_{p}\Big)^{1/\theta}$, $n\in \mathbb N$, необходимо и достаточно, чтобы $f\in L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$ и имело место неравенство $\|f^{(r)}\|_{p} \le C_{2}(r,p) \Big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{\theta r-1} E_{n-1}^{\theta}(f)_{p}\Big)^{1/\theta}$, где $L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$ - класс функций $f\in L_{p}(\mathbb T)$, имеющих абсолютно непрерывную производную $(r-1)$-го порядка и $f^{(r)} \in L_{p}(\mathbb T)$. Теорема 2. Пусть $1 < p < \infty,\ \beta=\max\{2,p\}$, $r\in \mathbb N$ и $f\in L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$. Тогда выполнение неравенства $n^{-r}\Big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\beta r-1} E_{\nu-1}^{\beta}(f)_{p}\Big)^{1/\beta}\le C_{3}(r,p)\omega_{r}(f;\pi/n)_{p}$, $n\in \mathbb N$, необходимо и достаточно для справедливости неравенства $\Big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{\beta r-1}E_{n-1}^{\beta}(f)_{p}\Big)^{1/\beta}\le C_{4}(r,p)\|f^{(r)}\|_{p}$. В силу справедливости порядкового равенства $\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\alpha r-1} E_{\nu-1}^{\alpha}(f)_{p}\asymp \sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\alpha r-1}\omega_{l}^{\alpha} (f;\pi/\nu)_{p},\ n\in \mathbb N \cup \{+\infty\}$, где $1\le \alpha < \infty$, $l\in \mathbb N$, $l>r$, утверждения теорем 1 и 2 остаются в силе, если вместо последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ рассматривать последовательность $\{\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ (теоремы 3 и 4). Метод, используемый при доказательстве теорем 1 и 2, применяется к получению равносильных оценок сверху и равносильных оценок снизу для величин $E_{n-1}(f^{(r)})_{p}$ и $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{p},\ n\in \mathbb N,$ посредством элементов последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$, где $k,r\in \mathbb N,\ ~1 < p < \infty$.