О лакунах в спектре Лапласиана в полосе с периодическим дельта-взаимодействием

В работе рассматривается оператор Лапласа в плоской бесконечной полосе с периодическим дельта-взаимодействием. Ширина полосы фиксирована и для простоты выбрана равной $\pi$. Дельта взаимодействие вводится на периодической системе кривых. Каждая кривая состоит из конечного числа кусков гладкости $C^1$ каждый. Кривые предполагаются строго внутренними и с границами полосы не пересекаются. Период расположения кривых равен $2\varepsilon\pi$, где $\varepsilon$ - некоторое достаточно малое число. Функция, описывающая дельта-взаимодействие, также задается периодической на описанной системе кривых и предполагается ограниченной и измеримой. Основной результат состоит в следующем. Показано, что если $\varepsilon\leqslant \varepsilon_0$, где $\varepsilon_0$ - некоторое явно вычисленное число, а норма функции, описывающее дельта-взаимодействие, меньше некоторой явной константы, то в нижней части спектра рассматриваемого оператора отсутствуют внутренние лакуны. Под нижней частью понимается зона спектра до некоторой точки, которая явно вычислена в терминах параметра $\varepsilon$ в виде весьма простой функции. Данный результат можно рассматривать как первый шаг к доказательству усиленной гипотезы Бете-Зоммерфельда о полном отсутствии лакун в спектре описанного оператора при достаточно малом периоде расположения дельта-взаимодействий.