Коды в дистанционно регулярных графах Шилла

Если дистанционно регулярный граф $\Gamma$ диаметра 3 содержит максимальный 1-код $C$, являющийся локально регулярным и совершенным относительно последней окрестности, то $\Gamma$ имеет массив пересечений $\{a(p+1),cp,a+1;1,c,ap\}$ или $\{a(p+1),(a+1)p,c;1,c,ap\}$, где $a=a_3,c=c_2,p=p^3_{33}$ (Юришич и Видали). В первом случае $\Gamma$ имеет собственное значение $\theta_2=-1$, и граф $\Gamma_3$ является псевдогеометрическим для $GQ(p+1,a)$, во втором случае $\Gamma$ является графом Шилла. В работе изучаются графы Шилла, в которых любые две вершины, находящиеся на расстоянии 3, лежат в максимальном 1-коде. Доказано, что в случае $\theta_2=-1$ граф с указанным свойством являетcя либо графом Хэмминга $H(3,3)$, либо графом Джонсона. Кроме того найдены необходимые условия существования $Q$-полиномиальных графов Шилла, в которых любые две вершины, находящиеся на расстоянии 3, лежат в максимальном 1-коде. В частности, найдены две бесконечные серии допустимых массивов пересечений $Q$-полиномиальных графов с указанным свойством $\{b(b^2-3b)/2,(b-2)(b-1)^2/2,(b-2)t/2;1,bt/2,(b^2-3b)(b-1)/2\}$ (графы с $p^3_{33}=0$), $\{b^2(b-4)/2,(b^2-4b+2)(b-1)/2,(b-2)l/2;1,bl/2,(b^2-4b)(b-1)/2\}$ (графы с $p^3_{33}=1$).