Об уравнениях метода программных итераций

Неразрывно связанный с именем А.Г. Ченцова метод программных итераций возник в процессе исследования так называемых нерегулярных антагонистических дифференциальных игр. Первоначально рассматривалась лишь одна из двух возможных, двойственных итеративных процедур - максиминная процедура. В значительной мере это объясняется особым интересом, проявляемым к так называемой функции программного максимина, которая в играх преследования имеет привлекательную геометрическую интерпретацию. Вместе с тем не меньший интерес представляет и двойственная к ней минимаксная итеративная процедура. Одно из главных значений метода программных итераций состоит в том, что на его основе может быть построена теория дифференциальных игр в замкнутой и весьма компактной форме. Ранее это было проиллюстрировано для одной из версий метода, базирующейся на определенной модификации итерационных операторов. Ключевую роль в этой теории играет теорема о существовании и единственности решения уравнения, порождаемого парой упомянутых операторов. При этом максиминная итеративная процедура используется для описания $\varepsilon$-оптимальных, а в ряде случаев и оптимальных позиционных стратегий 1-го игрока, а минимаксная - для описания $\varepsilon$-оптимальных, а иногда и оптимальных позиционных стратегий 2-го игрока. В настоящей статье исследована структура множества решений обобщенного уравнения Айзекса - Беллмана, полученного с использованием исторически первых, а не модифицированных операторов метода программных итераций. При определенных предположениях доказана теорема о существовании и единственности его решения, удовлетворяющего естественному краевому условию. Тем самым показано, что исходная версия метода программных итераций, также может быть использована для построения теории дифференциальных игр в замкнутой форме. Однако при этом используются не позиционные, а так называемые рекурсивные стратегии, которые вместе с самим методом программных итераций играют существенную роль в исследовании бескоалиционных дифференциальных игр.