О необходимых предельных градиентах в задачах управления на бесконечном промежутке

В работе исследуются необходимые условия оптимальности в задачах управления на бесконечном промежутке. В качестве критерия оптимальности выбран обгоняющий критерий (overtaking optimality). В предположении, что все градиенты платежной функции ограничены, для сопряженной переменной построено необходимое для оптимальности условие в терминах предельных точек градиентов $\frac{\partial J}{\partial x}(\xi,0;\tilde {u},T)$ при $\xi\to\tilde{x}(0),T\to\infty$. В случае непрерывности на бесконечности градиента платежной функции вдоль оптимальной траектории (единственности такой предельной точки) это условие, дополняя систему принципа максимума до полной системы соотношений, выделяет единственное решение. Показано, что при этом сопряженная переменная данного решения может быть явно выписана с помощью формулы (типа Коши), предложенной ранее в работах А.М. Асеева и А.В. Кряжимского. Также показано, что найденное решение автоматически удовлетворяет еще одному условию (уже на гамильтониан), предложенному недавно А.О. Беляковым для поиска оптимальных в смысле обгоняющего критерия решений. Отмечено, что в случае более слабого требования - существования предела $\frac{\partial J}{\partial x}(\tilde{x}(0),0;\tilde {u},T)$ при $T\to\infty$ - формула типа Коши может оказаться несовместной с условием максимизации гамильтониана, а значит и с принципом максимума Понтрягина. Ключевая идея доказательства - применение в рамках схемы Халкина теоремы о сходимости субдифференциалов для последовательности равномерно сходящихся функций.