Метод предельных дифференциальных включений для неавтономных разрывных систем с последействием

Исследуются функционально-дифференциальные уравнения $\dot{x}= f(t,\phi(\cdot))$ с кусочно-непрерывными правыми частями. Предполагается, что множества $M$ точек разрыва правых частей обладают свойством граничности, а не является множествами нулевой меры, как для дифференциальных уравнений без запаздывания. Такое предположение связано прежде всего с бесконечномерностью области определения функции $f$. Решения исследуемых уравнений понимаются в смысле А.Ф. Филиппова. Основные результаты относятся к теоремам об асимптотическом поведении решений. Они формулируются с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными. Трудности исследований неавтономных систем связаны с тем, что $\omega$-предельные множества их решений не обладают свойствами типа инвариантности и множества нулей производных функционалов Ляпунова могут зависеть от переменной $t$ и выходить за рамки пространства переменных $\phi(\cdot)$. Для разрывных неавтономных систем возникает еще проблема построения предельных дифференциальных уравнений с использованием сдвигов $f^{\tau}(t+\tau,\phi(\cdot))$ функции $f$. В данной статье вводятся понятия предельных дифференциальных включений без использования предельных переходов на последовательностях сдвигов разрывных или многозначных отображений. Изучаются их свойства с учетом специфики построения. Устанавливаются свойства типа инвариантности $\omega$-предельных множеств решений и аналоги принципа инвариантности Ж. Ла-Салля.