|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)
Об оценке хаусдорфова расстояния между множеством и его выпуклой оболочкой в евклидовых пространствах малой размерности
В. Н. Ушаковa, А. А. Ершовba a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
b Челябинский государственный университет
Аннотация:
В работе выводятся оценки хаусдорфова расстояния между множествами и их выпуклыми оболочками в конечномерных евклидовых пространствах со стандартным скалярным произведением и соответствующей нормой. В первой части работы данные оценки рассматриваются для $\alpha$-множеств. Под $\alpha$-множеством понимается произвольный компакт, у которого параметр, характеризующий степень невыпуклости и вычисляемый определенным образом, равен $\alpha$. В большинстве случаев упомянутый параметр $\alpha$ представляет собой максимальный возможный угол, под которым видны из точек, не принадлежащих рассматриваемому множеству, их проекции на это множество. $\alpha$-множества были введены В.Н. Ушаковым для классификации невыпуклых множеств по степени их невыпуклости. Они используются для описания волновых фронтов и других задач, возникающих в теории управления. В работе рассмотрены $\alpha$-множества только в двумерном пространстве. Доказано, что если $\alpha$ мало, то соответствующие $\alpha$-множества близки к выпуклым множествам в хаусдорфовой метрике. Это позволяет пренебрегать их невыпуклостью и считать их выпуклыми, если известно, что параметр $\alpha$ мал. Отметим, что таким же образом часто применяется известная теорема Шепли - Фолкмана. Во второй части работы получены некоторое улучшение к оценке из самой теоремы Шепли - Фолкмана. В оригинальной теореме Шепли - Фолкмана утверждается, что сумма Минковского большого количества множеств близка в хаусдорфовой метрике к ее выпуклой оболочке по отношению к величине чебышëвского радиуса суммы. В данной работе рассмотрен частный случай, когда эта сумма состоит из одинаковых слагаемых, т. е. мы складываем некоторое множество $M$ само с собой. Для данного частного случая получено улучшение оценки, которое существенно для множеств в пространствах малой размерности. Кроме того, как и в известном следствии Старра, новая оценка допускает следующее улучшение: мы можем заменить чебышëвский радиус $R(M)$ в правой части оценки на внутренний радиус $r(M)$ множества $M$. Однако, отметим, что при неограниченном увеличении размерности пространства наша новая оценка асимптотически стремится к оценке, непосредственно вытекающей из теоремы Шепли - Фолкмана.
Ключевые слова:
$\alpha$-множество, сумма Минковского, выпуклая оболочка, хаусдорфово расстояние.
Поступила в редакцию: 10.09.2017
Образец цитирования:
В. Н. Ушаков, А. А. Ершов, “Об оценке хаусдорфова расстояния между множеством и его выпуклой оболочкой в евклидовых пространствах малой размерности”, Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 1, 2018, 223–235; Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 305, suppl. 1 (2019), S178–S190
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/timm1510 https://www.mathnet.ru/rus/timm/v24/i1/p223
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 447 | PDF полного текста: | 74 | Список литературы: | 35 | Первая страница: | 12 |
|