Пространство непрерывных многозначных отображений с замкнутыми неограниченными значениями

Рассматривается пространство непрерывных многозначных отображений, определенных на локально компактном пространстве ${\mathcal T}$ со счетной базой. Значениями этих отображений являются замкнутые, не обязательно ограниченные множества из метрического пространства $(X,d(\cdot))$, в котором замкнутые шары являются компактами. Пространство $(X,d(\cdot))$ локально компактно и сепарабельно. Пусть $Y$ - счетное плотное множество из $X$. Расстояние $\rho (A, B)$ между множествами $A, B$ из семейства $CL(X)$ всех непустых, замкнутых подмножеств из $X$ определяется как
$$\rho(A,B)=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}\, \frac{\mid~d(y_i,A)-d(y_i,B)\mid} {1+\mid~d(y_i,A)-d(y_i,B)\mid},$$
где $d(y_i,A)$ - расстояние от точки $y_i \in Y$ до множества $A$. Это расстояние не зависит от выбора множества $Y$, и функция $\rho (A, B)$ является метрикой на пространстве $CL(X)$. Сходимость последовательности множеств $A_n, n\ge 1,$ из метрического пространства $(CL(X),\rho (\cdot))$ эквивалентна сходимости последовательности $A_n, n\ge 1,$ по Куратовскому. Доказаны полнота и сепарабельность метрического пространства $(CL(X),\rho (\cdot))$ и даны необходимые и достаточные условия компактности множеств в этом пространстве. Пространство $C({\mathcal T}, CL(X))$ всех непрерывных отображений из ${\mathcal T}$ в $(CL(X),\rho (\cdot))$ наделено топологией равномерной сходимости на компактах из ${\mathcal T}$. Доказаны полнота, сепарабельность пространства $C({\mathcal T}, CL(X))$ и даны необходимые и достаточные условия компактности множеств в пространстве $C({\mathcal T}, CL(X))$. Эти результаты переформулированы для пространства $C(T, CCL(X))$, где $T=[0,1], \; X$ - конечномерное евклидово пространство и $CCL(X)$ - пространство всех непустых, замкнутых выпуклых множеств из $X$ с метрикой $\rho (\cdot )$. Это пространство играет большую роль при изучении процессов выметания. Приведен контрпример, показывающий существенность предположения компактности замкнутых шаров из $X$.