Об асимптотических свойствах решений управляемых систем со случайными параметрами

Рассматриваются дифференциальные уравнения и управляемые системы с импульсным воздействием, зависящие от случайных параметров. Стохастическое поведение данных объектов выражается в том, что длины интервалов $\theta_k$ между моментами импульсов $\tau_k,$ $k=0,1,\ldots,$ являются случайными величинами и размеры импульсов также зависят от случайных воздействий. Основным объектом исследования выступает управляемая система
\begin{gather*} \dot x=f(t,x,u),\quad t\ne\tau_k,\\ \Delta x\bigl|_{t=\tau_k}=g(x,w_k,v_k), \end{gather*}
зависящая от случайных параметров $\theta_k=\tau_{k+1}-\tau_k$ и $v_k,$ $k=0,1,\ldots.$ На множестве $\Sigma$ всех возможных последовательностей $\bigr((\theta_0,v_0),\dots,(\theta_k,v_k),\dots\bigl)$ определена вероятностная мера $\mu.$ В качестве допустимых управлений $u=u(t)$ берем всевозможные ограниченные измеримые функции со значениями в компактном множестве $U\subset \mathbb{R}^m;$ вектор $w_k$ также является управлением, влияющим на поведение системы в моменты времени $\tau_k.$ Рассматривается множество $\mathfrak M=\bigl\{(t,x): t\in[0,+\infty),\, x\in M(t)\bigr\},$ заданное функцией $t\mapsto M (t),$ непрерывной в метрике Хаусдорфа. Основными результатами работы являются достаточные условия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости множества $\mathfrak M,$ выполненные с вероятностью единица. Показано, что исследование устойчивости множества с помощью метода функций Ляпунова можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения соответствующего дифференциального уравнения. Также изучается асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, зависящих от случайных параметров. Получены условия, при которых решения уравнений обладают свойствами устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости, выполненными для всех значений случайного параметра и выполненными с вероятностью единица. Результаты работы проиллюстрированы на примерах вероятностной модели популяции, подверженной промыслу и модели конкуренции двух видов с импульсным воздействием.