Вариации типа $v$-замены времени в задачах с фазовыми ограничениями

Для общей задачи оптимального управления с фазовым ограничением предлагается доказательство принципа максимума с помощью $v$-замены времени $t \mapsto \tau,$ при которой исходное время становится еще одной фазовой переменной, подчиненной уравнению $dt/d\tau = v(\tau),$ а дополнительное управление $v(\tau)\ge 0$ кусочно-постоянно, и его значения служат аргументами новой задачи. Фазовое ограничение порождает континуум ограничений неравенства в этой задаче, поэтому необходимые условия экстремума в ней содержат меру. Переписав эти условия в терминах исходной задачи, мы получаем непустой компакт из наборов множителей Лагранжа, которые обеспечивают выполнение принципа максимума на конечном множестве значений управления и времени, соответствующем данной $v$-замене. Компакты, порожденные всевозможными кусочно-постоянными $v$-заменами, частично упорядочены по включению, и поэтому образуют центрированную систему. Взяв любой элемент из их пересечения, мы получаем единое условие оптимальности, в котором принцип максимума выполнен для всех значений управления и времени.