Оптимальный результат в задаче управления системой с кусочно монотонной динамикой

В данной работе рассматривается задача оптимального управления для детерминированной нелинейной системы с кусочно монотонной динамикой. Рассматриваемая математическая модель появляется при описании процесса химиотерапии злокачественной опухоли. Данные исследования позволяют изучить влияние характера немонотонности на структуру оптимального управления. В работе исследуется случай, когда функция терапии, описывающая влияние лекарства на скорость роста клеток, имеет два максимума. Приводятся сравнения с результатами для изученного ранее случая одного максимума у функции терапии в данной модели. Работа посвящена построению функции цены для рассматриваемой задачи оптимального управления. Как известно, функция цены является основой для построения оптимального синтеза, т. е. оптимальной позиционной стратегии терапии. Конструкция функции цены использует то, что она является единственным минимаксным (вязкостным) решением задачи Коши для основного уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана (ГЯБ). С помощью непрерывной склейки конечного числа гладких функций, построенных с помощью метода характеристик Коши для вспомогательных уравнений ГЯБ, конструируется непрерывная функция $\varphi$. Новым элементом конструкции является линия негладкой склейки с помощью условий Ранкина–Гюгонио. Эта линия играет ключевую роль для оптимальной стратегии управления, так как определяет линию ее разрыва. В работе приводится обоснование совпадения построенной функции $\varphi$ с минимаксным решением задачи Коши для основного уравнения ГЯБ.