О порядке убывания равномерных модулей гладкости на классах периодических функций $H_{p}^{l}[\omega],\ l\in \mathbb N,\ 1\le p<\infty$

С. Б. Стечкиным была поставлена задача: для заданных $1\le p<q\le \infty,\ r\in \mathbb Z_{+},\ l,k\in \mathbb N$ и $\omega \in \Omega_{l}(0,\pi]$ найти точный порядок убывания $L_{q}(\mathbb T)$-модуля гладкости $k$-го порядка $\omega_{k}(f^{(r)};\delta)_{q}$ на классах $2\pi$-периодических функций $H_{p}^{l}[\omega]=\{f\in L_{p}(\mathbb T):\ \omega_{l}(f;\delta)_{p}\le\omega(\delta),\ \delta\in(0,\pi]\}$, где $\mathbb T=(-\pi,\pi],\ L_{\infty}(\mathbb T)\equiv C(\mathbb T),\ \Omega_{l}(0,\pi]$ — класс функций $\omega=\omega(\delta)$, определенных на $(0,\pi]$ и удовлетворяющих условиям: $0<\omega(\delta)\downarrow 0\ (\delta\downarrow 0)$ и $\delta^{-l}\omega(\delta)\downarrow (\delta\uparrow)$. Ранее автором получено решение указанной задачи в случае $1\le p<q<\infty$. В настоящей работе приводится решение в случае $1\le p<q=\infty$, а именно, имеют место следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть $1\le p<\infty,\ f\in L_{p}(\mathbb T),\ r\in \mathbb Z_{+},\ l,k\in \mathbb N,\ l>\sigma=r+1/p,\ \rho=l-(k+\sigma)$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/n)_p<\infty;$ тогда $f$ эквивалентна некоторой функции $\psi\in C^{r}(\mathbb T)$ и справедлива оценка $\omega_{k}(\psi^{(r)};\pi/n)_{\infty} \le C_{1}(l,k,r,p)\Big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/\nu)_{p} +\chi(\rho)n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+\sigma-1}\omega_{l}(f;\pi/\nu)_{p}\Big),\ n\in \mathbb N$, где $C^{r}(\mathbb T)$ —класс функций $\psi \in C(\mathbb T)$, имеющих обычную производную $r$-го порядка$\psi^{(r)}\in C(\mathbb T)$ $(\psi^{(0)}=\psi$, $C^{0}(\mathbb T)=C(\mathbb T))$, $\chi(t)=0$при $t\le 0$ и $\chi(t)=1$ при $t>0$.

Отметим, что приведенная оценка охватывает все возможные случаи соотношений между $l$ и $k+r$.

Теорема 2. Пусть $1\le p<\infty,\ r\in \mathbb Z_{+},\ l,k\in \mathbb N,\ l>\sigma=r+1/p,\ \rho=l-(k+\sigma),\ \omega \in \Omega_{l}(0,\pi]$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\sigma-1}\omega(\pi/n)<\infty$; тогда $\sup\{\omega_{k}(\psi^{(r)};\pi/n)_{\infty}:\ f\in H_{p}^{l}[\omega]\}\asymp\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{\sigma-1}\omega(\pi/\nu)+\chi(\rho)n^{-k} \times \sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+\sigma-1}\omega(\pi/\nu),\ n\in \mathbb N$, где $\psi$ обозначает соответствующую функцию из $C^{r}(\mathbb T)$, эквивалентную $f\in H_{p}^{l}[\omega]$.

В утверждениях теорем $1$ и $2$ наибольший интерес представляет случай $l=k+\sigma=k+r+1/p$ $(\Rightarrow \chi(\rho)=0)$, который возможен лишь при $p=1$, поскольку $r\in \mathbb Z_{+}$ и $l,k\in \mathbb N$. В этом случае при доказательстве оценки из теоремы $1$ используется неравенство $n^{-l}\|T_{n,1}^{(l)}(f;\cdot)\|_{\infty} \le C_{2}(l)n\omega_{l+1}(f;\pi/n)_{1}$, где $T_{n,1}(f;\cdot)$ — полином наилучшего в метрике $L_{1}(\mathbb T)$ приближения функции $f\in L_{1}(\mathbb T)$, которое в свою очередь выводится как следствие усиленного варианта неравенства разных метрик для производных произвольных тригонометрических полиномов $\|t_{n}^{(l)}(\cdot)\|_{\infty}\le 2^{-1}\pi\|t_{n}^{(l+1)}(\cdot)\|_{1}$, $n\in \mathbb N$.