Описание группы единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка $16$

Работа посвящена описанию группы $U$ единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка $16$. Группы единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков $2$ и $4$ тривиальны, а группа единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка $8$ хорошо известна. Поэтому случай циклической группы порядка $16$ является первым, для которого не проведено полное исследование строения группы единиц целочисленного группового кольца циклической $2$-группы. При изучении групп единиц целочисленных групповых колец циклических $2$-групп порядков более $16$ обязательно возникнет потребность в информации о строении групп единиц целочисленных групповых колец циклических $2$-групп меньших порядков, в частности, порядка $16$. Таким образом, можно сказать, что случай группы порядка $16$ является базисным для дальнейших исследований. Описание группы $U$ получено в терминах локальных единиц, определяемых характерами циклической группы порядка $16$ и единицами кольца целых кругового поля $\mathbf{Q}_{16}$, полученного присоединением к полю рациональных чисел примитивного корня из $1$ степени $16$. Поэтому потребовалось весьма подробное изучение строения группы единиц кольца целых кругового поля $\mathbf{Q}_{16}$. Кроме того в работе получены важные соотношения между коэффициентами произвольной единицы из $U$. Эти соотношения, очевидно, послужат образцами и примерами для получения подобных соотношений при исследовании единиц для случаев $2$-групп порядков, больших $16$. Наконец, отметим, что один из порождающих группы $U$ является особой единицей, которая определяется двумя единицами кольца целых кругового поля $\mathbf{Q}_{16}$. Эта единица является произведением двух локальных единиц, каждая из которых не содержится в $U$.