Explicit expression for a hyperbolic limit cycles of a class of polynomial differential systems

Рассматриваются системы дифференциальных уравнений на плоскости
$$x^{\prime }=\frac{dx}{dt}=P(x,y),\ \ \ y^{\prime }=\frac{dy}{dt}=Q(x,y),$$
где зависимые переменные $x$ и $y$, а также независимая переменная (время) $t$ вещественны, а $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ — вещественные многочлены от переменных $x$ и $y$. Такие математические модели возникают во многих прикладных областях в биологии, экономики, технике и т.д. Существование предельных циклов представляет собой один из наиболее трудных для изучения вопросов качественной теории плоских дифференциальных систем, и этой теме посвящено огромное количество работ. Известно, что существование первого интеграла плоской дифференциальной системы определяет ее фазовый портрет. Таким образом, для полиномиальных дифференциальных систем возникает естественный вопрос: как определить, имеет ли данная система первый интеграл? Инвариантные алгебраические кривые тесно связаны с теорией интегрируемости. В данной статье введены явные выражения для инвариантных алгебраических кривых и для первого интеграла, а также найдены достаточные условия, при которых класс полиномиальных дифференциальных систем имеет явно заданные гиперболические предельные циклы. Приведены конкретные примеры, демонстрирующие применимость результатов. Представляется, что элементарный метод, использованный в данной статье, может быть применен для исследования более общих плоских динамических систем для получения в явном виде некоторых или всех предельных циклов, по крайней мере в случае гиперболических циклов. В духе обратного подхода к динамическим системам мы ищем их в виде овалов подходящих инвариантных алгебраических кривых. Ключевые слова: плоская полиномиальная дифференциальная система, инвариантная алгебраическая кривая, первый интеграл, предельный цикл.