Оценки скорости сходимости сплайнов по трехточечным рациональным интерполянтам для непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций

Для непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций $f(x)$ по сеткам попарно различных узлов $\Delta\colon a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ $(N\geqslant 2)$ исследована скорость сходимости кусочно рациональных функций $R_{N,1} (x)=R_{N,1}(x,f)$ таких, что при $x\in [x_{i-1}, x_i]$ ($i=1,2,\dots,N$) имеем $R_{N,1} (x)=(R_i(x)(x-x_{i-1})+R_{i-1}(x)(x_i-x))/(x_i-x_{i-1})$, где $R_i(x)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i/(x-g_i)$ ($i=1,2,\dots,N-1$), коэффициенты $\alpha_i$, $\beta_i$ и $\gamma_i$ определяются условиями $R_i(x_j)=f(x_j)$ при $j=i-1,i,i+1$, а полюсы $g_i$ — узлами; считаем $R_0(x)\equiv R_1(x)$, $R_N(x)\equiv R_{N-1} (x)$. Даны оценки скорости сходимости $R_{N,1} (x,f)$ через различные структурные характеристики функции:
1) в случае равномерных сеток узлов — через модуль непрерывности третьего порядка функции $f(x)$;
2) для непрерывно дифференцируемых функций $f(x)$ с выбором узлов сетки — через вариацию и через модуль изменения производных первого и второго порядков; при этом оценки через вариацию имеют порядок наилучших полиномиальных сплайн-приближений.