Прямая теорема в разных метриках теории приближений периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье

В статье исследуется задача о порядковой точности оценки сверху наилучшего приближения в $L_{q} (\mathbb{T})$ посредством модуля гладкости $l$-го порядка (модуля непрерывности при $l=1$) в
$$L_{p}(\mathbb{T})\colon E_{n-1}(f)_{q} \le C(l,p,q)\big(\textstyle\sum\limits_{\nu =n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q},\ \ n\in\mathbb{N},$$
на классе $M_{p}(\mathbb{T})$ всех функций $f\in L_{p}(\mathbb{T})$, коэффициенты Фурье которых удовлетворяют условиям
$$a_{0}(f)=0,\ a_{n}(f)\downarrow 0,\ b_{n} (f)\downarrow 0\ (n\uparrow \infty),\ \text{где}\ l\in\mathbb{N},\ 1<p<q<\infty,\ l>\sigma=1/p-1/q,\ \mathbb{T}=(-\pi,\pi].$$
В случае $l$=1 и $p\ge 1$ указанная оценка впервые установлена П. Л. Ульяновым при доказательстве неравенства разных метрик для модулей непрерывности, а в случае $l>1$ и $p\ge 1$ в силу $L_{p}$-аналога неравенства Д. Джексона — С. Б. Стечкина доказательство этой оценки сохраняется. Ниже сформулированы основные результаты, полученные в данной работе. Для того, чтобы функция $f\in M_{p}(\mathbb{T})$ принадлежала $L_{q}(\mathbb{T})$, где $1<p<q<\infty,$ необходимо и достаточно выполнения условия $\sum_{n=1}^{\infty}n^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/n)_{p}<\infty,$ при этом имеют место порядковые равенства
$(a)\ E_{n-1}(f)_{q}+n^{\sigma}\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}\asymp\big(\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q} (f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q},$ $n\in\mathbb{N}$;
$(b)\ n^{-(l-\sigma)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-\sigma)-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_{q}\big)^{1/p}\asymp \big(\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\big)^{1/q},\ n\in\mathbb{N}$.
\noindent При оценке снизу в п. $(a)$ второе слагаемое $n^{\sigma}\omega_{l}(f;\pi/n)_{p},$ в общем случае, не допускает исключения. Однако, если последовательность $\{\omega_{l}(f;\pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}$ либо последовательность $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяет $(B_{l}^{(p)})$-условию Н. К. Бари, равносильному $(S_{l})$-условию С. Б. Стечкина, то
$$ E_{n-1}(f)_{q}\asymp\big(\textstyle\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}\big) ^{1/q},\ n\in\mathbb{N}. $$
Оценка сверху в пункте $(b)$, имеющая место для любой функции $f\in L_{p}(\mathbb{T})$ при условии сходимости ряда, представляет собой усиленный вариант прямой теоремы. Порядковое равенство $(b)$ показывает, что усиленный вариант является точным в смысле порядка на всем классе $M_{p}(\mathbb{T})$.