Интегрируемость со степенным весом сумм из модулей блоков тригонометрических рядов

В работе рассматривается следующая задача: найти достаточные условия на последовательности $\{\gamma(r)\}$, $\{n_j\}$ и $\{v_j\}$, чтобы для любой последовательности $\{b_k\}$, удовлетворяющей условию $\sum_{k=r}^{\infty}|b_k-b_{k+1}|\leq\gamma(r)$, $b_k\to 0$, сходился интеграл $ \int_0^\pi U^p(x)/{x^q} dx$, где $p>0$, $q\in[1-p;1)$, $U(x):=\sum_{j=1}^{\infty}\left|\sum_{k=n_j}^{v_j}b_k \sin kx\right|$. В такой постановке для $\gamma(r)={B}/{r}$, $B>0$, задача была рассмотрена и решена С. А. Теляковским. Для случая, когда $p\ge 1$, $q=0$, $v_j=n_{j+1}-1$, а последовательность $\{b_k\}$ является монотонной, А. С. Белов получил критерий принадлежности функции $U(x)$ пространству $L_p$. В теореме 1 данной работы получены достаточные условия сходимости указанного выше интеграла, которые при $\gamma(r)= B/{r}$, $B>0$, совпадают с достаточными условиями С. А. Теляковского. В случае $\gamma(r)= O(1/{r})$ условия С. А. Теляковского могут не выполняться, а применение теоремы 1 позволяет гарантировать сходимость интеграла. Соответствующие примеры приведены в последнем параграфе работы. Вопрос о необходимых условиях сходимости интеграла $\int_0^\pi U^p(x)/{x^q}dx$, где $p>0$, $q\in[1-p;1)$, остается открытым.