Контактное сопротивление квадратного контакта

Рассмотрено проводящее тело в форме параллелепипеда, по торцам которого подключены малые контакты квадратной формы. Потенциал электрического тока моделируется при помощи краевой задачи для уравнения Лапласа в параллелепипеде. По всей границе задана нулевая нормальная производная, кроме областей границы под контактами, где предполагается, что производная по нормали равна ненулевой постоянной. Физически такое условие соответствует наличию тонкой плохо проводящей плёнки на поверхности контактов. Решение данной задачи получено методом разделения переменных, затем найдено электрическое сопротивление как некоторый функционал от решения в виде суммы двойного ряда. Главной целью работы является исследование зависимости сопротивления от малого параметра, характеризующего размер контактов. Главный член этой асимптотики и есть контактное сопротивление. Математическая проблема заключается в том, что сумма ряда, выражающая сопротивление, зависит от малого параметра сингулярно: при стремлении его к нулю ряд расходится. В качестве метода решения данной задачи использована замена ряда на двумерный интеграл. Найден главный член асимптотики и оценка остатка. Главный вклад в оценку остатка вносит разность между двумерным интегралом и двойной суммой.