Модифицированная функция Бернштейна и равномерное приближение некоторых рациональных дробей полиномами

П. Л. Чебышев (1857, 1859) поставил и решил задачу о наименее уклоняющейся от нуля в равномерной метрике на отрезке неправильной рациональной дроби среди рациональных дробей, знаменатель которых фиксирован и представляет собой положительный на отрезке многочлен заданной степени $m,$ а числитель — многочлен заданной степени $n\ge{m}$ с единичным старшим коэффициентом. А. А. Марков (1884) решил аналогичную задачу в случае, когда в знаменателе расположен корень квадратный из заданного положительного многочлена. В XX в. эта тематика получила развитие в работах С. Н. Бернштейна, Н. И. Ахиезера и других математиков. Так, Г. Сеге (1964), используя методы комплексного анализа, перенес результат П. Л. Чебышева на случай тригонометрических дробей. В данной статье методами вещественного анализа на основе развития подхода С. Н. Бернштейна удалось найти наилучшее равномерное приближение на периоде тригонометрическими полиномами определенного порядка для бесконечной серии правильных тригонометрических дробей специального вида. Оказалось, что в периодическом случае некоторые результаты естественно формулировать в терминах обобщенного ядра Пуассона $\Pi_{\rho,\xi}(t)=(\cos\xi)P_\rho(t)+(\sin\xi)Q_\rho(t),$ представляющего собой линейную комбинацию ядра Пуассона $P_\rho(t)=(1-\rho^2)/[2(1+\rho^2-2\rho\cos{t})]$ и сопряженного ядра Пуассона $Q_\rho(t)=\rho\sin{t}/(1+\rho^2-2\rho\cos{t}),$ где $\rho\in(-1,1),$ $\xi\in\mathbb{R}.$ В настоящей работе найдено наилучшее равномерное приближение на периоде подпространством $\mathcal{T}_{n}$ тригонометрических полиномов порядка не выше $n$ следующей линейной комбинации обобщенного ядра Пуассона и его сдвига: $ \Pi_{\rho,\xi}(t)+(-1)^{n}\Pi_{\rho,\xi}(t+\pi). $ Отсюда при $\xi=0$ получаются известные результаты С. Н. Бернштейна о наилучшем равномерном приближении на $[-1,1]$ дробей $1/(x^2-a^2)$, $x/(x^2-a^2)$ алгебраическими многочленами, а при $\xi={\pi}/{2}$ — их весовые аналоги (с весом $\sqrt{1-x^2}).$ Кроме того, здесь найдена величина наилучшего равномерного приближения на периоде подпространством $\mathcal{T}_{n}$ специальной линейной комбинации упомянутого выше ядра Пуассона $P_\rho$ и ядра Пуассона $K_\rho$ для бигармонического уравнения в единичном круге.