Integrability and invariant algebraic curves for a class of Kolmogorov systems

Многие природные явления, например, явления, изучаемые в математической экологии и популяционной динамике, могут моделироваться системами Колмогорова. Одной из классических задач качественной теории двумерных дифференциальных систем является вопрос существования первого интеграла системы. Для двумерной системы ее фазовый портрет полностью определяется существованием первого интеграла. Вопрос существования и нахождения инвариантных алгебраических кривых заданного плоского векторного поля является частью набора задач, поставленных А. Пуанкаре. Между интегрируемостью системы и количеством ее инвариантных алгебраических кривых есть тесная связь. Доказано, что из существования у системы некоторого количества алгебраических кривых следует ее интегрируемость по Дарбу, т.е. первый интеграл является произведением алгебраических решений с комплексными показателями. Одним из важнейших вопросов, связанных со второй частью нерешенной 16-й проблемы Гильберта, является изучение количества и расположения предельных циклов. В данной работе дано явное выражение для инвариантных алгебраических кривых. Доказано, что эти системы являются интегрируемыми по Дарбу, и приведено явное выражение для первого интеграла Лиувилля. Затем обсуждается возможность существования предельных циклов двух систем Колмогорова следующего вида:
$$\left\{
\begin{array}{l} x^{\prime }=x\left( \displaystyle\frac{P\left( x,y\right) }{Q\left( x,y\right) }+\ln \Big\vert \frac{N\left( x,y\right) }{M\left( x,y\right) }\Big\vert \right), \\ y^{\prime }=y\left( \displaystyle\frac{R\left( x,y\right) }{S\left( x,y\right) }+\ln \Big\vert \frac{N\left( x,y\right) }{M\left( x,y\right) }\Big\vert\right), \end{array}
\right.$$
где $P\left( x,y\right)$, $Q\left( x,y\right)$, $R\left( x,y\right)$, $S\left(x,y\right)$, $N\left( x,y\right)$ и $M\left( x,y\right)$ — неоднородные многочлены степени $n$, $m$, $n$, $m$, $a$ b $a$, соответственно. Представляется возможным использовать простой метод, предложенный в статье, для исследования более общих двумерных систем дифференциальных уравнений колмогоровского типа и получения явных выражений для инвариантных алгебраических кривых, а также первых интегралов, описывающих траектории системы. В работе также обсуждается возможность существования предельных циклов.