Исследование асимптотики решения трехмерного нелинейного волнового уравнения вблизи точки катастрофы типа “бабочка”

В рамках метода согласования асимптотических разложений рассматривается решение трехмерного нелинейного волнового уравнения $-U''_{TT}+U''_{XX}+U''_{YY}+U''_{ZZ}=f({\varepsilon} T, {\varepsilon} X,{\varepsilon} Y,{\varepsilon} Z,U).$ Здесь $\varepsilon$ - малый положительный параметр и правая часть представляет собой плавно меняющийся источниковый член уравнения. Около типичной точки катастрофы типа “бабочка” строится формальное асимптотическое разложение решения исходного уравнения во внутреннем масштабе. При этом для приближаемого решения предполагается наличие стандартного внешнего асимптотического разложения, пригодного вне малой окрестности точки катастрофы. Исследуется нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) 2-го порядка с тремя параметрами $u''_{xx}=u^5-t u^3-z u^2-y u-x$ для главного члена внутреннего асимптотического разложения. Это уравнение описывает возникновение контрастной структуры типа “ступенька” вблизи точки катастрофы. Кратко приведена процедура получения такого уравнения. На ограниченном множестве параметров установлена равномерная асимптотика на бесконечности решения этого ОДУ, удовлетворяющего условиям согласования. Численными методами показана возможность нахождения ударного слоя вне окрестности нуля внутреннего масштаба. Приведены иллюстрации найденных численно интегральных кривых.