Асимптотика потенциала скоростей идеальной жидкости при обтекании тонкого диска

Рассматривается задача Неймана вне малой окрестности круглого плоского диска в трехмерном пространстве. Поверхность этой окрестности предполагается гладкой, ее толщина характеризуется малым параметром $\varepsilon$. Методом согласования построено равномерное асимптотическое разложение решения этой задачи по малому параметру $\varepsilon$. Задача оказалась бисингулярной, поэтому вблизи краев диска было построено дополнительное внутреннее асимптотическое разложение в так называемых растянутых переменных. Физической интерпретацией решения данной краевой задачи является потенциал скоростей идеальной жидкости при ламинарном обтекании тонкого тела, представляющего собой окрестность диска. Предполагается, что на большом удалении от диска ламинарный поток жидкости движется с единичной скоростью, что равносильно условию на потенциал $u(x_1,x_2,x_3,\varepsilon)=x_3+O(r^{-2})$ при $r\to\infty$, где $r$ - расстояние до начала координат. Краевым условием данной задачи является условие непротекания жидкости через поверхность тела, т.е. $\partial u/\partial\mathbf{n}=0$ на границе. После вычитания $x_3$ из решения $u(x_1,x_2,x_3,\varepsilon)$ мы имеем краевую задачу для потенциала $\widetilde{u}(x_1,x_2,x_3,\varepsilon)$ возмущенного движения жидкости. Поскольку интеграл по поверхности тела от функции $\partial \widetilde{u}/\partial\mathbf{n}$ равен нулю, то $\widetilde{u}(x_1,x_2,x_3,\varepsilon)=O(r^{-2})$ при $r\to\infty$. Отсюда вытекает, что все коэффициенты внешнего асимптотического разложения по $\varepsilon$ имеют такое же поведение на бесконечности. Однако при приближении к краю диска они, напротив, имеют нарастающие особенности, в чем и заключается бисингулярность задачи.