Асимптотика решения одной сингулярно возмущенной задачи о быстродействии

При исследовании сингулярно возмущенных задач оптимального управления используется известный и хорошо развитый метод пограничных функций построения асимптотики решения краевых задач, к которым приводят условия оптимальности управления. Такой подход эффективен для задач с гладкими управляющими воздействиями из открытой области. Задачи с замкнутой и ограниченной областью управления исследованы менее полно. Как правило, изучаются случаи, когда управление является скалярной или многомерной функцией со значениями из выпуклого многогранника. В последнем случае оптимальное управление кусочно-постоянно со значениями в вершинах многогранника, поэтому ключевым здесь является описание асимптотики точек переключения оптимального управления. В настоящей работе исследована одна задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с гладкими геометрическими ограничениями на управление в виде шара. Основное отличие от ранее рассмотренных систем с быстрыми и медленными переменными заключается в том, что в данном случае матрица при быстрых переменных представляет собой многомерный аналог жордановой клетки второго порядка с нулевым собственным числом и тем самым не удовлетворяет стандартному условию асимптотической устойчивости. Доказана разрешимость задачи. Получена и обоснована полная асимптотика по степенной асимптотической последовательности времени быстродействия и оптимального управления относительно малого параметра при производных в уравнениях системы.