Критерий пронормальности добавлений к абелевым нормальным подгруппам

Подгруппа $H$ группы $G$ называется пронормальной, если для любого элемента $g\in G$ подгруппы $H$ и $H^g$ сопряжены в подгруппе $\langle H, H^g\rangle$. В данной работе доказано, что если группа $G$ обладает нормальной абелевой подгруппой $V$ и подгруппой $H$ такими, что $G=HV$, то $H$ пронормальна в $G$ если и только если $U=N_U(H)[H,U]$ для любой $H$-инвариантной подгруппы $U$ группы $V$. Основываясь на этом замечании, мы доказываем, что при $q\equiv\pm 3\pmod 8$ простая симплектическая группа $\mathrm{PSp}_{6n}(q)$ содержит непронормальную подгруппу нечетного индекса. Тем самым опровергнута гипотеза о пронормальности подгрупп нечетных индексов в конечных простых группах, высказанная в 2012 г. в работе Е. П. Вдовина и Д. О. Ревина и подтвержденная авторами в работе 2015 г. для большого массива конечных простых групп.