Схема высокого порядка точности для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии на основе метода декомпозиции решения

Рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения реакции-диффузии. Для этой задачи разрабатывается новый подход к построению разностных схем, решения которых сходятся в равномерной норме равномерно относительно возмущающего параметра $\varepsilon$, $\varepsilon \in (0,1]$ (т. е. $\varepsilon$-равномерно) с порядком точности значительно выше максимального достижимого для метода Ричардсона на кусочно-равномерных сетках. Главное в этом подходе — использование равномерных сеток для решения сеточных подзадач для регулярной и сингулярной компонент сеточного решения. На основе техники асимптотических конструкций строится базовая схема метода декомпозиции решения, решение которой сходится $\varepsilon$-равномерно со скоростью ${\mathcal O} \left(N^{-2} \ln^2 N\right)$, где $N+1$ — число узлов в используемых равномерных сетках. Техника экстраполяции Ричардсона на трех вложенных сетках применяется к базовой схеме метода декомпозиции решения. В результате получается схема Ричардсона метода декомпозиции решения высокого порядка точности, решение которой сходится $\varepsilon$-равномерно в равномерной норме со скоростью ${\mathcal O} \left(N^{-6} \ln^6 N\right)$.