О кусочно постоянной аппроксимации в распределенных задачах оптимизации

Статья посвящена задачам оптимального управления распределенными системами, представимыми функционально-операторным уравнением типа Гаммерштейна в банаховом пространстве, компактно вложенном в лебегово пространство. Рассматривается задача минимизации интегрального функционала на множестве пар “состояние — управление”, удовлетворяющих управляемому уравнению указанного типа. Доказывается эквивалентность этой задачи задаче оптимизации, получаемой из исходной путем перехода к описанию управляемой системы с помощью функционально-операторного уравнения В.И.Сумина в лебеговом пространстве. Эта эквивалентная задача оптимизации называется в статье S-двойственной. Для S-двойственной задачи оптимизации исследуется кусочно постоянная аппроксимация по паре “состояние — управление”. Для такого способа аппроксимации устанавливаются следующие результаты: 1) сходимость кусочно постоянных аппроксимаций по функционалу и по уравнению для S-двойственной задачи оптимизации; 2) существование глобального решения аппроксимирующей конечномерной задачи математического программирования; 3) сходимость по функционалу решений аппроксимирующей задачи оптимизации к решению исходной задачи. В качестве вспомогательного результата, представляющего самостоятельный интерес, доказывается теорема о тотальном (по всему множеству допустимых управлений) сохранении разрешимости управляемого уравнения типа Гаммерштейна. В качестве примера сведения управляемой распределенной системы к указанному уравнению рассматривается задача Дирихле для полулинейного эллиптического уравнения типа диффузии-реакции.