Некоторые топологические конструкции расширений абстрактных задач о достижимости

Рассматривается задача о достижимости состояний, являющихся элементами топологического пространства, при ограничениях асимптотического характера на выбор аргумента заданного целевого отображения. Исследуются конструкции, имеющие смысл расширений исходного пространства и реализуемые с привлечением естественных для задач прикладной математики методов, в которых, однако, задействованы элементы расширений, применяемых в общей топологии. Исследование ориентировано на применение в задаче о построении и изучение свойств областей достижимости управляемых систем.
В работах Н. Н. Красовского и его учеников широко использовались конструкции, предусматривающие приближенное соблюдение ограничений в задачах управления, а также различные обобщенные режимы. В частности, этот подход нашел свое отражение при доказательстве фундаментальной теоремы об альтернативе Н. Н. Красовского и А. И. Субботина, которая, в свою очередь, позволила установить существование седловой точки в нелинейной дифференциальной игре. При исследовании задач импульсного управления Н. Н. Красовский использовал аппарат теории обобщенных функций, что послужило основой многих работ в данном направлении. Решению задач управления, так или иначе связанных с построением областей достижимости, посвящены многие работы А. Б. Куржанского. Задачи управления с неполной информацией, вопросы двойственности задач управления и наблюдения, задачи группового управления – вот далеко не полный список направлений, в которых А. Б. Куржанскому удалось получить глубокие научные результаты. Для этих работ характерно использование широкого диапазона средств и методов прикладной математики, разнообразных конструкций, сочетание теоретических исследований и процедур, связанных с перспективами компьютерного моделирования.
Направление, развиваемое в настоящей работе и (в своей основе) касающееся проблемы соблюдения ограничений (включая ограничения “асимптотические”), связано с другими вопросами. Тем не менее идея построения обобщенных элементов различной природы (в частности, обобщенных управлений) может быть, как представляется, полезной для целей асимптотического анализа задач управления, не обладающих устойчивостью, задач о сравнении различных тенденций при выборе управлений в виде зависимостей от комплекса факторов, присущих исходной прикладной (по смыслу) задаче. Применение таких средств, как компактификация Стоуна–Чеха, расширение Волмэна направлено, конечно, на изучение вопросов качественного характера. Сближение подходов к построению расширений, применяемых в теории управления и в общей топологии, имеет, как представляется авторам, хорошие перспективы как с точки зрения “чистой”, так и прикладной математики. Представляется, что данную работу можно рассматривать как некоторый шаг в этом направлении.