Экстремальная функция в задаче Дельсарта оценки сверху контактного числа трехмерного пространства

Рассмотрена экстремальная задача для непрерывных неположительных на отрезке функций, представимых рядами по многочленам Лежандра с неотрицательными коэффициентами, возникающая из схемы Дельсарта оценки сверху контактного числа трехмерного евклидова пространства. Доказано, что единственной экстремальной функцией является многочлен $27$-й степени, который представим в виде линейной комбинации многочленов Лежандра степеней $0,1,2,3,4,5,8,9,10,20,27$ с положительными коэффициентами, имеет простой нуль в точке $1/2$ и пять двойных нулей в интервале $(-1,1/2)$. Исследована двойственная экстремальная задача для неотрицательных мер на отрезке $[-1,1/2],$ в частности доказано, что экстремальная мера единственная.