Неравенство Бернштейна–Сеге для дробных производных тригонометрических полиномов

Во множестве $\mathscr F_n$ тригонометрических полиномов порядка $n\ge1$ с комплексными коэффициентами рассматривается оператор Сеге $D^\alpha_\theta,$ определенный при $\alpha,\theta\in\mathbb R$, $\alpha\ge0$, соотношением $D^\alpha_\theta f_n(t)=\cos\theta D^\alpha f_n(t)-\sin\theta D^\alpha\widetilde f_n(t)$, в котором $D^\alpha f_n$ и $D^\alpha\widetilde f_n$ суть дробные производные Вейля (вещественного) порядка $\alpha$ полинома $f_n$ и его сопряженного $\widetilde f_n$. В работе, в частности, доказано, что если $\alpha\ge n\ln2n$, то для любого $\theta\in\mathbb R$ в пространствах $L_p$ при всех $p\ge0$ на множестве $\mathscr F_n$ имеет место точное неравенство $\|\cos\theta D^\alpha f_n-\sin\theta D^\alpha\widetilde f_n\|_{L_p}\le n^\alpha\|f_n\|_{L_p}$. Для классических производных (натурального порядка $\alpha\ge1$) это неравенство в равномерной норме $(p=\infty)$ получил Сеге (1928), а при $1\le p<\infty$ – Зигмунд (1931–1935). Для дробных производных (вещественного) порядка $\alpha\ge1$ при $1\le p\le\infty$ его доказал А. И. Козко (1998).