Степенные и экспоненциальные разложения решений уравнения иерархии $(K_{II})$

Рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, которое получено из иерархии $K_{II}$ при $n=1$. К этому уравнению применен метод многоугольников Ньютона, развитый А. Д. Брюно, для получения разложений решений систем алгебраических, дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Использован этот метод для нахождения всех степенных разложений решений рассматриваемого уравнения, экспоненциальных добавок к ним и экспоненциальных разложений. В результате получено четырехпараметрическое семейство голоморфных в нуле разложений, четыре асимптотических разложения, четыре семейства полярных разложений, разложение в окрестности бесконечно удаленной точки и экспоненциальные добавки к ним. При $\beta=0$, линейно входящего в уравнение, имеем частные случаи разложений, полученных при $\beta\ne 0$.