О конечных группах с $Q$-центральными элементами простого порядка

Элемент $x$ конечной группы $X$ называется $Q$-центральным, если существует такой центральный главный фактор $H/L$ группы $X$, что $x\in H$ and $x\notin L$. Элемент $x$ называется $Q_8$-элементом, если в группе найдется такая секция $A/B$, что $A/B$ содержит $xB$ и изоморфна группе кватернионов $Q_8$ порядка $8$, причем порядок $x$ совпадает с порядком элемента $xB$ в $A/B$. Если $G$ — конечная ненильпотентная группа, в которой каждый элемент простого порядка $Q$-централен, то справедливы следующие утверждения: 1) силовская $2$-подгруппа $G_2$ из $G$ нормальна, а $G/G_2$ нильпотентна; 2) в $G_2$ имеется $Q_8$-элемент порядка $4$, не являющийся $Q$-центральным в $G$.