Transitivity of Sylow permutability, the converse of Lagrange's theorem, and mutually permutable products

Изучаются взаимно перестановочные произведения конечных групп. Факторизуемая группа $G=AB$ называется взаимно перестановочным произведением своих факторов $A$ и $B$, если каждый фактор переставляется с каждой подгруппой другого фактора. Доказываем, что взаимно перестановочные произведения $\mathcal Y$-групп (группы, удовлетворяющие условию, обратному к теореме Лагранжа) и $\mathrm{SC}$-групп (группы, главные факторы которых просты) являются $\mathrm{SC}$-группами. Далее мы показываем, что произведение взаимно перестановочных $\mathcal Y$-групп сверхразрешимо. В частности, если взаимно перестановочное произведение двух групп — $\mathrm{PST}$-группа (т.е. группа, в которой каждая субнормальная подгруппа перестановочна со всеми силовскими подгруппами), то оба фактора — $\mathrm{PST}$-группы.