Расширение Волмэна и экспонента. Функториальные свойства

Д. Харрис ввёл понятие $WO$-отображения и доказал, что любое $WO$-отображение $X\xrightarrow{f}Y$ допускает непрерывное продолжение $\omega X\xrightarrow{\widetilde{f}}\omega Y$ ($\omega X$ – волмэновская компактификация пространства $X$). В работе исследуются модификации условия $(WO) (WO(2), WO(2$-$2), WO(comb))$. Показано, что всякое $WO(2$-$2)$-отображение $X\xrightarrow{f}Y$ ($X$ и $Y$ – $T_1$-пространства) непрерывно продолжается до отображения $\exp X\xrightarrow{\overline{f}}\exp Y$ ($\exp X$ – экспонента пространства $X$ с топологией Виеториса), а если $X$ и $Y$ регулярны и $f$ – $WO$-отображение, то $f$ можно непрерывно продолжить до отображения ${{\exp }^{n}}\omega X\xrightarrow{{{f}_{n}}}{{\exp }^{n}}\omega Y$ (${{\exp }^{n}}\omega X=\underbrace{\exp ...\exp }_{n}\omega X,\ n\in \mathbb{N}$). Таким образом на категориях $\mathcal{K}_1 T_1$-пространств и $WO(2$-$2)$ - отображений и $\mathcal{K}_2 T_3$-пространств и $WO$-отображений определяются ковариантные функторы ${{\exp }}$ и ${{\exp }^{n}}\omega $ соответственно.