Модификация условия $(WO)$ Харриса и функториальные свойства экспоненты и расширения Волмэна

Найдено необходимое и достаточное условие существования непрерывного продолжения $\text{exp} X \overset{\bar{f}}{\longrightarrow} \text{exp} Y$ отображения $X \overset{f}{\longrightarrow} Y$, где $\text{exp} X$ — экспонента пространства $X$ с топологией Виеториса, а отображение $\bar{f}$ задано правилом $\bar{f}(F) = [f(F)]_Y$ ($[ \cdot ]_Y$ — оператор замыкания в пространстве $Y$). Полученное условие, названное условием ($\omega o$), является модификацией условия $(WO)$ Харриса. Также показано, что выполнение для отображения $f$ условия ($\omega o$) достаточно, а при регулярности пространства $Y$ и необходимо для существования многозначного полунепрерывного сверху продолжения $\omega X \overset{\tilde{f}}{\longrightarrow} \omega Y$ отображения $f$, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям ($\omega X$ — компактификация Волмэна пространства $X$). Полученные результаты комментируются с позиции теории категорий и функторов.