Ограниченная топология и функтор $C(X,Y)$

Рассматривается категория $\mathbf{\Pi}$, где объектами являются пары топологических пространств $(X,Y)$, а морфизмами пары $(X,Y)$ в пару $(E,Z)$ – пары непрерывных отображений $(\varphi,\psi)$, где $\varphi :E\mapsto X$, $\psi:Y\mapsto Z$. Каждой паре $(X,Y)$ соответствует пространство непрерывных отображений $C_{Lim} (X,Y)$ с ограниченной топологией (Limitation Topology), определенной Торунчиком. В работе показано, что такое соответствие задает ковариантный функтор $C_{Lim}$ из категории $\mathbf{\Pi}$ в категорию $Top$ топологических пространств и непрерывных отображений. Найдены необходимое и достаточное условия для выделения подкатегории $\mathcal{K}\subset\mathbf{\Pi}$, на которой функтор $C_{Lim}$ непрерывен.