Расширенное преобразование Лежандра на $C(X)$ и его приложения

В различных приложениях рассматриваются функционалы на пространстве $C(X)$ непрерывных функций на компакте $X$, для которых справедливы вариационные принципы – представление $f(\varphi)$ в виде преобразования Лежандра некоторого функционала $g$, определенного на сопряженном пространстве. В приложениях физический смысл имеет обычно функция $a(x) = \exp \varphi(x)$ и c функционалом $f$ связан функционал $f(\ln a),$ определенный на конусе (строго) положительных функций. В работе рассмотрен вопрос о продолжении этого функционала на более широкий конус неотрицательных функций и справедливости вариационного принципа для такого продолжения. Основная сложность связана с тем, что у функционала $f(\ln a)$ может не существовать непрерывного продолжения. Доказательство основано на полученном в работе обобщении теоремы Дини.