Некоторые топологические свойства функтора $C(X,Y)$

Рассматривается категория $\mathcal{K}$, где объекты $-$ пары топологических пространств $(X,Y)$. Каждой паре $(X,Y)$ ставится в соответствие пространство непрерывных отображений $C_\tau (X,Y)$ с некоторой топологией $\tau$, а морфизмам $\mathcal{K}$ — соответствующие связующие отображения пространств вида $C_\tau (X,Y)$. Исследуется вопрос: при каких ограничениях на категорию $\mathcal{K}$ указанное отображение является функтором из $\mathcal{K}$ в категорию Тор топологических пространств и непрерывных отображений и будет ли этот функтор непрерывным.