Комплексные алгебраические числа в областях $\mathbb{C}^2$ малой меры Лебега

В середине XIX века П. Дирихле доказал, что действительные числа можно приблизить рациональными лучше, чем было принято в приближенных вычислениях [1–3]. При классификации действительных и комплексных чисел К. Малер [4] выдвинул гипотезу о том, что почти все (в смысле меры Лебега в $\mathrm{\mathbb{R} }$ и $\mathrm{\mathbb{C} }$) действительные и комплексные числа имеют одинаковый порядок приближения алгебраическими. Его гипотеза была решена В. Г. Спринджуком [5, 6] и обобщена в [7–9].
Задачи о распределении точек с рациональными координатами в областях евклидова пространства $\mathrm{\mathbb{R} }^{k}$ являются обобщением проблем подсчета количества целых точек в выпуклых областях. Рассматриваемые точки лежат внутри некоторого множества, содержащегося в $\mathrm{\mathbb{R} }^{k}$. В частности, рассматривается окрестность некоторой гладкой функции $f\colon I\rightarrow \mathrm{\mathbb{R} }$. За последние годы в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, Д. Диккинсона, С. Велани, Р. Вогана [10, 11] были найдены асимптотические оценки сверху и снизу для количества рациональных точек вблизи гладких кривых и поверхностей. Данные оценки были получены с помощью методов метрической теории диофантовых приближений.
Аналогичные результаты, связанные с распределением алгебраических точек в окрестности гладкой кривой на двумерной вещественной плоскости $\mathrm{\mathbb{R} }^{2}$, были впервые получены в работе [12] и являются обобщением задачи о распределении рациональных точек. В данной статье рассмотрена задача о распределении алгебраических чисел в областях пространства $\mathbf{\mathbb{C} }^{2}$.